Una trasformazione affine è un tipo di trasformazione che agisce su spazi affini e conserva la collinearità dei punti, le proporzioni tra le distanze di punti collineari e il parallelismo.
Una trasformazione affine \(T:\) \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\) è definita come una combinazione di una trasformazione lineare
e una traslazione , cioè: \(T(v) = Av + t\) dove:
Una trasformazione affine nel piano è una trasformazione che agisce su punti, vettori e rette nel piano cartesiano in modo da conservare le proprietà di collinearità tra i punti e le proporzioni sul parallelismo.
Una trasformazione affine \(T:\) \(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2\)è definita come segue: \(T(v) = Av + t\) dove:
Le isometrie sono trasformazioni geometriche che preservano le distanze e angoli. Le isometrie nel piano euclideo sono traslazioni, rotazioni e riflessioni
Una traslazione è una trasformazione affine che sposta tutti i punti di un oggetto nella stessa direzione e di una stessa distanza, senza alterare forma , orientamento, dimensioni o proporzioni. Dato un punto \(P(x,y)\) nel piano, una traslazini di questo punto di un vettore \(v = (t_x,t_y)\) risulta in un nuovo punto \(P^\prime(x^\prime,y^\prime)\) dove:
Una rotazione è una trasformazione affine che ruota tutti i punti di un oggetto attorno a un punto fisso detto centro di rotazione, mantenendo inalterate le distanze tra i punti e le loro proporzioni. Dato un punto \(P(x,y)\) ruotato di un angolo \(\theta\) attorno all'origine del piano cartesiano, le nuove coordinate \(P^\prime(x^\prime,y^\prime)\) sono date da:
La riflessione è una trasformazione affine che produce l'immagine speculare di un oggetto rispetto a una retta, che si chiama asse di simmetria. In due dimensioni, una riflessione inverte l'orientamento degli oggetti trasformati. Dato un punto \(P(x,y)\) , se è riflesso rispetto a una retta (asse di riflessione), le sue nuove coordinate \(P^\prime(x^\prime,y^\prime)\) dipenderanno dalla posizione e dall'orientamento della retta, ovvero:
Un'omotetia è una trasformazione affine che altera le dimensioni di un oggetto senza modificarne la forma. Come omotetia può essere considerata l'operazione di scaling, e ha un punto fisso chiamato centro di omotetia, da cui tutte le rette passanti per questo punto rimangono invariate. Dato un punto \(P(x,y)\) nel piano che subisce un'omotetia di rapporto \(k\)(con \(k\neq 0\)) rispetto all'origine, le nuove coordinate \(P^\prime(x^\prime,y^\prime)\) del punto sono date da:
Le similitudini sono trasformazioni affini che preservano la forma degli oggetti, ma possono alterarne le dimensioni e l'orientamento. Una similitudine è una combinazione di un'omotetia, una rotazione, e una traslazione.
Includono anche una componente di rotazione, permettendo così agli oggetti di essere ridimensionati e ruotati simultaneamente.
Una similitudine nel piano è una trasformazione che trasforma un punto \(P(x,y)\) in un punto \(P^\prime(x^\prime,y^\prime)\) dove la trasformazione può includere:
Le coordinate omogenee sono un sistema di coordinate utilizzato anche in ambito videludico per rappresentare punti nello spazio affine ed eseguire trasformazioni affini tramite operazioni tra matrici. Le trasformazioni affini come traslazione, rotazione, scalatura e proiezione possono essere rappresentate come moltiplicazione di matrici usando le coordinate omogenee. Per rappresentare un punto in 2D, utilizziamo la tripla \([x,y,w]\) invece della coppia di coordinate \((x,y)\). Le coordinate cartesiane del punto possono essere ottenute da:
Traslazione di \(t_x\) unità sull'asse \(x\) e \(t_y\) unità sull'asse \(y\): \(T_{traslazione} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Rotazione di un angolo \(\theta\) attorno all'origine: \(T_{rotazione} = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Scaling di un fattore \(s_x\) sull'asse \(x\) e \(s_y\) sull'asse \(y\): \(T_{scale} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Per applicare una trasformazione affine a un punto in coordinate omogenee , si moltiplica il vettore delle coordinate omogenee per la matrice di riferimento. Esempio traslazione:
Due figure geometriche si dicono congruenti se l'una può essere trasformata nell'altra tramite isometrie, (traslazioni, rotazioni e riflessioni). In altre parole, due figure congruenti hanno la stessa forma e le stesse dimensioni, e differiscono soltanto per la loro posizione o orientamento nello spazio.
Due figure geometriche si dicono simili se l'una può essere trasformata nell'altra tramite isometrie (traslazioni, rotazioni, riflessioni) e omotetie (dilatazioni). In altre parole, le due figure sono simili se hanno la stessa forma ma possono avere dimensioni diverse.
Due figure geometriche si dicono affini se l'una può essere trasformata nell'altra tramite isometrie, omotetie, dilatazioni non unfiormi e deformazioni. Mantengono i punti collineari e le proporzioni tra segmenti collineari, ma non conservano necessariamente le distanze e gli angoli.
Un raggio riflesso è un segmento di retta che rappresenta la traiettoria di una direzione dopo che questo ha interagito con una superficie, seguendo le leggi della riflessione. La riflessione della luce può essere descritta nel dettaglio dalla legge della riflessione che afferma che, per un raggio incidente che colpisce una superficie:
Home